Distribución exponencial: Probabilidad Distribución exponencial

Distribución exponencial

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:

Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que,
el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante t_f, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C¹⁴;
El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente;
En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.

Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de $I\!\!R^+$ , es tal que su función de densidad es
$\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \mbox{si } 0<x $ } } } \end{displaymath}$
se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro $\lambda$ , $X{\leadsto}{ {{\bf Exp} \left( \lambda \right)} }$ .
se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro $\lambda$ , $X{\leadsto}{ {{\bf Exp} \left( \lambda \right)} }$ .

**Figura:** Función de densidad, f, de una ${ {{\bf Exp} \left ( \lambda \right )} }$ .
$\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-04.epsi}$

Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,

$\begin{displaymath}\int_0^x \lambda e^{-\lambda t} \, dt = \left. -e^{-\lambda t} \right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x} \end{displaymath}$

luego la función de distribución es:

$\begin{displaymath}F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - e^{-\lambda x} & \mbox{si } 0<x \\ \\ 0 & \mbox{ en otro caso.} \end{array}\right. \end{displaymath}$

**Figura:** Función de distribución, F, de ${ {{\bf Exp} \left ( \lambda \right )} }$ , calculada como el área que deja por debajo de sí la función de densidad.
$\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-05.epsi}$

Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos en primer lugar la función característica

$\begin{displaymath}\phi_X(t) = \int_0^{+\infty} e^{itx} \lambda e^{-\lambda x}\,... ...-\lambda)x} \right]_0^{+\infty} = - \frac{\lambda}{it-\lambda} \end{displaymath}$

para después, derivando por primera vez

$\begin{eqnarray}\html{eqn61}\nonumber \phi_X^,(t) &=& \frac{\lambda i}{(it-\lamb... ...ight]} } &=& \frac{\phi_X^,(0)}{i} = \frac{1}{\lambda} \nonumber \end{eqnarray}$

y derivando por segunda vez,

$\begin{eqnarray}\html{eqn61}\nonumber \phi_X^{,,}(t) &=& \frac{-2 \lambda i^2}{(... ...} = \frac{-2 \lambda}{-\lambda^3} =\frac{2}{\lambda^2} \nonumber \end{eqnarray}$

Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas.

La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro b, si su función de densidad es:

, x > 0 ; f(x) = 0 en cualquier otro caso

donde b > 0

La media y la variancia de la distribución exponencial son:

m = b y s² = b²

Distribución exponencial

martes, 3 de junio de 2014

Probabilidad Distribución exponencial

Distribución exponencial

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