Distribución exponencial: Distribución normal o gaussiana

Distribución normal o gaussiana

La distribución gaussiana, recibe también el nombre de distribución normal, ya que una gran mayoría de las v.a continuas^6.3 de la naturaleza siguen esta distribución. Se dice que una v.a. X sigue una distribución normal de parámetros $\mu$ y $\sigma ^2$ , lo que representamos del modo $X{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu,\sigma^2 \right)} }$ ^6.4 si su función de densidad es:
$\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle f(x) = {\scriptstyle \frac{1}{\... ...-\mu}{\sigma}\right)^2},\qquad \forall \, x\in I\!\!R $ } } } \end{displaymath}$

6.8.6.1 Observación

Estos dos parámetros $\mu$ y $\sigma ^2$ coinciden además con la media (esperanza) y la varianza respectivamente de la distribución como se demostrará más adelante^6.5:

$\begin{eqnarray}\html{eqn64}{ {{\bf E} \left[ X \right]} }&=&\mu \\ { {{\bf Var } \left[ X \right]} }&=&\sigma^2 \end{eqnarray}$

La forma de la función de densidad es la llamada campana de Gauss.

**Figura:** Campana de Gauss o función de densidad de una v.a. de distribución normal. El área contenida entre la gráfica y el eje de abcisas vale 1.
$\includegraphics[angle=-90, width=0.8\textwidth]{fig06-07.epsi}$

Para el lector es un ejercicio interesante comprobar que ésta alcanza un único máximo (moda) en $\mu$ , que es simétrica con respecto al mismo, y por tanto ${{\cal P}}[X\leq \mu]={{\cal P}}[X\geq \mu]=1/2$ , con lo cual en $\mu$ coinciden la media, la mediana y la moda, y por último,calcular sus puntos de inflexión.
El soporte de la distribución es todo $I\!\!R$ , de modo que la mayor parte de la masa de probabilidad (área comprendida entre la curva y el eje de abcisas) se encuentra concentrado alrededor de la media, y las ramas de la curva se extienden asintóticamente a los ejes, de modo que cualquier valor ``muy alejado" de la media es posible (aunque poco probable).
La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros $\mu$ y $\sigma$ :

$\mu$ indica la posición de la campana (parámetro de centralización);

Figura: Distribuciones gaussianas con diferentes medias e igual dispersión.

$\includegraphics[angle=0, width=0.9\textwidth]{fig06-08.eps}$
$\sigma ^2$ (o equivalentemente, $\sigma$ ) será el parámetro de dispersión. Cuanto menor sea, mayor cantidad de masa de probabilidad habrá concentrada alrededor de la media (grafo de fmuy apuntado cerca de $\mu$ ) y cuanto mayor sea ``más aplastado" será.

Figura: Distribuciones gaussianas con igual media pero varianza diferente.

$\includegraphics[angle=0, width=0.9\textwidth]{fig06-09.eps}$

**Figura:** Distribuciones gaussianas con diferentes medias e igual dispersión.
$\includegraphics[angle=0, width=0.9\textwidth]{fig06-08.eps}$

**Figura:** Distribuciones gaussianas con igual media pero varianza diferente.
$\includegraphics[angle=0, width=0.9\textwidth]{fig06-09.eps}$

La función característica de la distribución normal, se comprueba más adelante que es

$\begin{displaymath}\phi_X(t)= e^{it\mu-\frac{1}{2}t^2\sigma^2} \end{displaymath}$

Como consecuencia, la distribución normal es reproductiva con respecto a los parámetros $\mu$ , y $\sigma ^2$ , ya que
$\begin{eqnarray}\html{eqn66}\left\{ \begin{array}{l} X{\leadsto}{ {{\bf N} \left... ...N} \left( \mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2 \right)} } \nonumber \end{eqnarray}$

6.8.6.2 Observación

Como se ha mencionado anteriormente, la ley de probabilidad gaussiana la encontramos en la mayoría de los fenómenos que observamos en la naturaleza, por ello gran parte de lo que resta del curso lo vamos a dedicar a su estudio y a el de las distribuciones asociadas a ella. Sin embargo, a pesar de su utilidad, hay que apuntar un hecho negativo para esta ley de probabilidad:

La función $\displaystyle e^{-x^2}$ no posee primitiva^6.6 conocida^6.7.

Las consecuencias desde el punto de vista práctico son importantes, ya que eso impide el que podamos escribir de modo sencillo la función de distribución de la normal, y nos tenemos que limitar a decir que:

$\begin{displaymath}F(x) = P[X\leq x] = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = {\scriptsty... ...x} e^{-\frac{1}{2}\,\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}\, dt \end{displaymath}$

sin poder hacer uso de ninguna expresión que la simplifique. Afortunadamente esto no impide que para un valor de xfijo, F(x) pueda ser calculado. De hecho puede ser calculado con tanta precisión (decimales) como se quiera, pero para esto se necesita usar técnicas de cálculo numérico y ordenadores. Para la utilización en problemas prácticos de la función de distribución F, existen ciertas tablas donde se ofrecen (con varios decimales de precisión) los valores F(x) para una serie limitada de valores x_i dados. Normalmente F se encuentra tabulada para una distribución Z, normal de media 0 y varianza 1 que se denomina distribución normal tipificada:
$\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle Z{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,... ...{2\pi}}} e^{-\frac{z^2}{2}}\:\: \forall\, z\in I\!\!R $ } } } \end{displaymath}$

Distribución exponencial

martes, 3 de junio de 2014

Distribución normal o gaussiana

Distribución normal o gaussiana

6.8.6.1 Observación

6.8.6.2 Observación

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