Distribución exponencial: DISTRIBUCION

Distribución $\chi ^2$

Si consideramos una v.a. $Z{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }$ , la v.a. X=Z² se distribuye según una ley de probabilidad distribución ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }^2$ con un grado de libertad, lo que se representa como

$\begin{displaymath}X{\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_1^2 \end{displaymath}$

Si tenemos n v.a. independientes $Z_i{\leadsto}{ {{\bf N} \left( 0,1 \right)} }$ , la suma de sus cuadrados respectivos es una distribución que denominaremos ley de distribución $\chi ^2$ con n grados de libertad, ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_n^2$ .
$\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle \{Z_i\}_{i=1}^n{\leadsto}{ {{\b... ...}^n \, Z_i^2 {\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_n^2 $ } } } \end{displaymath}$
La media y varianza de esta variable son respectivamente:

$\begin{eqnarray}\html{eqn91}{ {{\bf E} \left[ X \right]} }&=&n \\ { {{\bf Var } \left[ X \right]} }&=&2n \end{eqnarray}$

y su función de densidad es:

$\begin{displaymath}f_{\chi_n^2}(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0 \qquad \mbox{si } ... ...rac{x}{2}} \qquad \mbox{si } x\in(0,\infty) \end{array}\right. \end{displaymath}$

Los percentiles de esta distribución que aparecen con más frecuencia en la práctica los podemos encontrar en la tabla 5.

**Figura:** Función de densidad de $\chi _n^2$ para valores pequeños de n.
$\includegraphics[angle=0, width=0.8\textwidth]{fig06-14.eps}$

**Figura:** Función de densidad de $\chi _n^2$ para valores grandes de n.
$\includegraphics[angle=0, width=0.8\textwidth]{fig06-15.eps}$

En consecuencia, si tenemos $X_1,\dots,X_n$ , v.a. independientes, donde cada $X_i{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu_i,\sigma_i^2 \right)} }$ , se tiene

$\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n \, \left(\frac{X_i -\mu_i}{\sigma_i}\right)^2 \: {\leadsto}{ \mbox{\boldmath$\chi$ } }_n^2 \end{displaymath}$

6.8.8.1 Observación

La ley de distribución ${ \mbox{\boldmath$\chi$ } }^2$ muestra su importancia cuando queremos determinar la variabilidad (sin signo) de cantidades que se distribuyen en torno a un valor central siguiendo un mecanismo normal. Como ilustración tenemos el siguiente ejemplo:

6.8.8.2 Ejemplo

Un instrumento para medir el nivel de glucemia en sangre, ofrece resultados bastantes aproximados con la realidad, aunque existe cierta cantidad de error $\epsilon$ que se distribuye de modo normal con media 0 y desviación típica $\sigma=2$ .

$\begin{displaymath}X_{\mbox{real}} = X_{\mbox{exp}} + \epsilon,\qquad \epsilon{\leadsto}{ {{\bf N} \left( \mu=0,\sigma^2=2^2 \right)} } \end{displaymath}$

Se realizan mediciones de los niveles de glucemia dados por el instrumento en un grupo de n=100 pacientes. Nos interesa medir la cantidad de error que se acumula en las mediciones de todos los pacientes. Podemos plantear varias estrategias para medir los errores acumulados. Entre ellas destacamos las siguientes:

1.: Definimos el error acumulado en las mediciones de todos los pacientes como

$\begin{displaymath}E_1 = \sum_{i=1}^n \epsilon_i \end{displaymath}$

¿Cuál es el valor esperado para E₁?
2.: Definimos el error acumulado como la suma de los cuadrados de todos los errores (cantidades positivas):

$\begin{displaymath}E_2 = \sum_{i=1}^n \epsilon_i^2 \end{displaymath}$

Distribución exponencial

martes, 3 de junio de 2014

DISTRIBUCION

Distribución $\chi ^2$

6.8.8.1 Observación

6.8.8.2 Ejemplo

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